Use quando uma variável já está isolada ou é fácil isolá-la.
Substitua a expressão de uma incógnita na outra equação e reduza o sistema a uma única variável.
\[\begin{cases}y=10-x\\2x+y=14\end{cases}\]
\[2x+(10-x)=14\Rightarrow x=4\Rightarrow y=6\]
SISTEMAS • RELAÇÕES SIMULTÂNEASUma solução precisa satisfazer
Uma solução precisa satisfazer
todas as equações ao mesmo tempo.
Sistemas lineares organizam situações em que as mesmas incógnitas precisam atender simultaneamente a duas ou mais condições.
O QUE É UM SISTEMA?
A solução precisa satisfazer todas as relações simultaneamente.
No sistema abaixo, o par (x, y) deve tornar verdadeiras as duas equações ao mesmo tempo.
\[\begin{cases}x+y=10\\2x-y=5\end{cases}\]
Resolver o sistema é encontrar a interseção das condições — algebricamente, geometricamente ou por uma combinação das duas leituras.
Escolha o método pela forma do sistema.
Os três métodos chegam à mesma solução. A estratégia é escolher aquele que exige menos manipulações e deixa a estrutura mais visível.
Use quando somar ou subtrair as equações cancela uma incógnita.
É especialmente eficiente quando os coeficientes já são opostos ou podem se tornar opostos com uma multiplicação simples.
\[\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}\]
\[2x=12\Rightarrow x=6\Rightarrow y=4\]
Use quando as duas equações já isolam a mesma variável.
Se duas expressões são iguais à mesma incógnita, elas podem ser igualadas diretamente.
\[y=2x+1\qquad y=7-x\]
\[2x+1=7-x\Rightarrow x=2\Rightarrow y=5\]
O número de interseções entre as retas classifica o sistema.
Cada equação linear em x e y representa uma reta. Resolver o sistema é perguntar quantos pontos essas retas têm em comum.
Retas concorrentes.
Exemplo: y = 5 − x e y = 2x − 1. Igualando as expressões, obtemos x = 2 e y = 3; esse é exatamente o ponto em que as retas se cruzam.
Retas paralelas distintas.
Exemplo: y = 4 − x e y = 5 − x. Mesma inclinação, interceptos diferentes.
Retas coincidentes.
Exemplo: x + y = 4 e 2x + 2y = 8. As equações descrevem a mesma reta.
Antes de resolver, compare se uma equação é múltipla da outra.
Coeficientes não proporcionais.
\[\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\]
As linhas de coeficientes (1,1) e (2,−1) não são múltiplas. O sistema tem uma solução: (2,3).
Coeficientes proporcionais, termos independentes não.
\[\begin{cases}x+y=4\\2x+2y=10\end{cases}\]
Duplicar a primeira daria 2x + 2y = 8, não 10. As retas são paralelas distintas.
Toda a segunda equação é múltipla da primeira.
\[\begin{cases}x+y=4\\2x+2y=8\end{cases}\]
A segunda equação é exatamente 2 vezes a primeira. Todo ponto de uma reta também está na outra.
DETERMINANTE
Use o determinante para classificar; resolva pelo método mais simples.
Para um sistema 2 × 2, o determinante dos coeficientes indica imediatamente se existe uma solução única.
\[\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\qquad D=ad-bc\]
No exemplo:
\[\begin{cases}2x+y=7\\x-y=-1\end{cases}\]
\[D=2(-1)-1(1)=-3\ne0\]
Como D ≠ 0, já sabemos que o sistema é SPD. Para encontrar a solução, podemos usar eliminação: ao somar as duas equações, a variável y desaparece.
\[(2x+y)+(x-y)=7+(-1)\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2\]
\[x-y=-1\Rightarrow 2-y=-1\Rightarrow y=3\]
Conferência: 2·2 + 3 = 7 e 2 − 3 = −1.
Montar corretamente é parte da resolução.
Em um estacionamento há 20 veículos entre carros e motos e 56 rodas.
INTERPRETAR. c = carros e m = motos.
ESTRUTURAR.
\[\begin{cases}c+m=20\\4c+2m=56\end{cases}\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA. Multiplique a primeira equação por 2 e elimine m.
\[\begin{cases}2c+2m=40\\4c+2m=56\end{cases}\Rightarrow2c=16\Rightarrow c=8\]
CALCULAR. m = 20 − 8 = 12.
CONFERIR. 8 + 12 = 20 e 4·8 + 2·12 = 56.
Em um sistema 3 × 3, elimine uma variável até obter um sistema 2 × 2.
Resolva por eliminação:
\[\begin{cases}(E_1)\ x+y+z=6\\(E_2)\ x-y+z=2\\(E_3)\ x+y-z=0\end{cases}\]
1. Elimine x e z entre E₁ e E₂.
\[E_1-E_2:\quad 2y=4\Rightarrow y=2\]
2. Elimine x e y entre E₁ e E₃.
\[E_1-E_3:\quad 2z=6\Rightarrow z=3\]
3. Volte a uma equação original.
\[x+2+3=6\Rightarrow x=1\]
4. Confira nas três equações. O trio (1,2,3) satisfaz E₁, E₂ e E₃.
ERROS
Montar o sistema errado torna inútil uma conta perfeita.
01. Não declarar o significado das incógnitas.
02. Misturar grandezas diferentes na mesma equação.
03. Encontrar uma variável e esquecer de voltar para obter as demais.
04. Aceitar um par ou trio que não satisfaz simultaneamente todas as relações.
05. Concluir que D = 0 implica automaticamente sistema impossível.
Como escolher o método?
Resolver um sistema fica mais simples quando você avança em três etapas.
- 1 · ENTENDER: identifique as incógnitas e lembre que a solução precisa satisfazer todas as equações ao mesmo tempo.
- 2 · INTERPRETAR: observe a forma das equações. Veja se uma variável já está isolada, se os coeficientes podem se cancelar ou se as duas equações expressam a mesma incógnita.
- 3 · DECIDIR: use substituição quando isolar uma variável é simples; eliminação quando somar ou subtrair as equações cancela uma incógnita; comparação quando as duas equações já isolam a mesma variável.
Conferência: substitua o par encontrado nas equações originais e verifique se todas ficam verdadeiras. Só então o par está confirmado como solução do sistema.