\[2\le x\lt 5\]
O 2 pertence à região. O 5 não pertence.
CONJUNTOS • RETA REAL
Um intervalo não é só uma notação. É uma região da reta.
Colchetes, parênteses e desigualdades dizem a mesma coisa por linguagens diferentes. O objetivo é reconhecer quais números pertencem à região — e quais extremos ficam de fora.
Desigualdade, intervalo e reta precisam contar a mesma história.
Trocar a notação sem mudar o conjunto é a habilidade central deste conteúdo.
\[[2,5)\]
Colchete em 2: inclui. Parêntese em 5: exclui.
A linha destacada é a região; as pontas registram inclusão ou exclusão.
TESTE RÁPIDO: substitua um extremo. Em \(2\le x\lt 5\), o número 2 torna a sentença verdadeira; 5 não.
Aberto ou fechado depende de uma pergunta: a ponta pertence?
Os dois extremos pertencem.
\[[a,b]\quad\Longleftrightarrow\quad a\le x\le b\]
Nenhum extremo pertence.
\[(a,b)\quad\Longleftrightarrow\quad a\lt x\lt b\]
Só o extremo esquerdo pertence.
\[[a,b)\quad\Longleftrightarrow\quad a\le x\lt b\]
Só o extremo direito pertence.
\[(a,b]\quad\Longleftrightarrow\quad a\lt x\le b\]
OUTRA NOTAÇÃO QUE PODE APARECER
Algumas bancas e materiais usam \(]a,b[\) no lugar de \((a,b)\). A leitura é a mesma: os extremos não pertencem ao intervalo.
INTERVALOS INFINITOS
O infinito indica direção, não uma ponta que pode ser atingida.
\[x\ge 3\]
\([3,+\infty)\)Começa em 3, incluindo-o, e segue sem limite à direita.
\[x\lt -2\]
\((-\infty,-2)\)Vem sem limite pela esquerda e não inclui −2.
Quando aparecem dois intervalos, volte à ideia de conjuntos.
União reúne regiões. Interseção conserva apenas a parte comum.
Junte tudo o que pertence a pelo menos um.
\[A=[-2,1]\qquad B=(0,4]\]
\[A\cup B=[-2,4]\]
Como os intervalos se sobrepõem entre 0 e 1, a união forma uma única região contínua.
Conserve somente a região comum.
\[A=[-2,1]\qquad B=(0,4]\]
\[A\cap B=(0,1]\]
0 fica fora porque \(B\) não o inclui; 1 fica dentro porque pertence aos dois intervalos.
EXEMPLO GUIADO
01
02
03
04
05
Resolva a desigualdade e só depois escreva o intervalo.
Represente na forma de intervalo o conjunto solução de \(-2<3x+1\le10\).
INTERPRETAR
Há duas restrições simultâneas sobre o mesmo \(x\).
Precisamos manter os três membros da desigualdade encadeados.
ESTRUTURAR
Isole o termo que contém \(x\).
\[-2<3x+1\le10\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Faça a mesma operação nos três membros.
Subtraia 1 e depois divida tudo por 3.
CALCULAR
\[-3<3x\le9\]
\[-1<x\le3\]
\[x\in(-1,3]\]
CONFERIR
−1 fica fora; 3 fica dentro.
ERROS QUE DERRUBAM QUESTÃO
O símbolo da ponta muda o conjunto.
Uma única inclusão ou exclusão incorreta já representa outra região da reta.
Trocar \(<\) por ponto fechado.
Se \(x<4\), o 4 não pertence: a ponta precisa ser aberta.
Usar colchete no infinito.
Infinito indica continuidade da reta; nunca é um elemento incluído.
Confundir união com interseção.
União reúne. Interseção fica apenas com a parte comum.
Inverter a desigualdade sem necessidade.
O sentido só se inverte ao multiplicar ou dividir por número negativo.
Treine desigualdades e regiões da reta em questões reais.
DESIGUALDADE • INTERVALO • RETATraduza antes de operar.
Treinar no BancoUse o Banco para treinar leitura de extremos, intervalos infinitos, união e interseção.