Pelo menos um dos eventos acontece.
AB
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
Subtraímos a interseção porque ela foi contada duas vezes.
PROBABILIDADE • RELAÇÕES ENTRE EVENTOSQuando os eventos se relacionam,
Quando os eventos se relacionam,
a estratégia também muda.
União, interseção, independência e condicionamento não são fórmulas soltas. Primeiro identifique como os eventos se relacionam e qual informação altera o universo do problema.
Antes de somar probabilidades, descubra como os eventos se relacionam.
União responde “A ou B”. Interseção responde “A e B”. A região comum decide se existe sobreposição na contagem.
Os dois eventos acontecem ao mesmo tempo.
AB
\[A\cap B\]
A interseção reúne os resultados que pertencem simultaneamente aos dois eventos.
CASO ESPECIAL
Eventos mutuamente exclusivos não podem acontecer juntos.
\[A\cap B=\varnothing\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
Não confunda: exclusão mútua e independência são relações diferentes.
EVENTOS INDEPENDENTES
Um evento não altera a chance do outro.
Independência significa que saber que um evento ocorreu não muda a probabilidade do outro.
Leitura: a ocorrência de B não fornece informação que altere a chance de A.
Condição: quando os eventos são independentes, a interseção pode ser obtida pelo produto.
\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]
INDEPENDÊNCIA É SOBRE INFORMAÇÃO; NÃO SOBRE “NÃO TER INTERSEÇÃO”.
EXEMPLO
Moeda e dado honestos.
A = sair cara. B = sair 6.
\[P(A)=\frac12\qquad P(B)=\frac16\]
\[P(A\cap B)=\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\]
O resultado da moeda não altera a distribuição do dado.
Quando recebemos uma informação, o universo de referência muda.
Em “qual é a chance de A sabendo que B ocorreu?”, B passa a ser o novo universo relevante.
Considere apenas os resultados em B.
A informação “B ocorreu” elimina os resultados fora de B.
Dentro de B, procure os que também estão em A.
Os favoráveis passam a ser os da interseção \(A\cap B\).
Compare a interseção com o novo universo.
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Essa relação exige \(P(B)>0\).
EXEMPLO GUIADO CURTO
Um dado honesto foi lançado. Sabemos que o resultado é par. Qual é a probabilidade de ter saído um número maior que 3?
Novo universo: \(B=\{2,4,6\}\).
Evento dentro de B: \(A\cap B=\{4,6\}\).
\[P(A\mid B)=\frac23\]
A informação “saiu par” mudou o denominador de 6 resultados para 3.
ERROS QUE DERRUBAM QUESTÃO
Não escolha a operação antes de entender a relação.
“Ou”, “e”, independência e condicionamento descrevem estruturas diferentes.
Somar automaticamente por causa do “ou”.
Se houver sobreposição, a interseção precisa ser descontada.
Confundir independência com exclusão mútua.
Independentes podem ocorrer juntos; mutuamente exclusivos não.
Multiplicar sem verificar independência.
O produto simples para a interseção depende da relação entre os eventos.
Usar condicional sem trocar o universo.
Ao saber que B ocorreu, o denominador passa a representar apenas os resultados de B.
Treine relações entre eventos.
UNIÃO • INTERSEÇÃO • CONDICIONALRelacione os eventos antes de escolher a operação.
Treinar no BancoUse o Banco para treinar problemas em que dois ou mais eventos interagem.
ROTA DE PROBABILIDADE
Probabilidade básica constrói o universo. Aqui, aprendemos a relacionar eventos.
Se espaço amostral, evento e complementar ainda não estiverem claros, revise a primeira camada.