Sim.
Se todos os elementos serão organizados e a ordem importa, estamos diante de uma permutação.
\[P_n=n!\]
CONTAGEM • ORDEM E ESCOLHA
Antes da fórmula,
Antes da fórmula,
descubra se a ordem muda o resultado.
Permutação, arranjo e combinação não são três fórmulas para decorar. São estruturas de contagem diferentes. A pergunta central é: trocar a posição dos elementos cria um novo resultado?
Use duas perguntas para separar as três estruturas.
Primeiro descubra se usamos todos os elementos ou apenas parte deles. Depois verifique se trocar a ordem produz um resultado diferente.
Sim.
Escolhemos alguns elementos de um conjunto maior e posições diferentes produzem resultados diferentes: arranjo.
\[A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}\]
Sim.
Escolhemos um grupo; trocar a ordem interna não cria um novo grupo: combinação.
\[C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}\]
FATORIAL COM SIGNIFICADO
O fatorial registra escolhas que diminuem uma a uma.
Ao ordenar n elementos distintos sem repetição, há n opções para a primeira posição, n−1 para a segunda e assim por diante.
\[n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1\]
exemplo → \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\);
convenção útil → \(0!=1\);
leitura → o fatorial nasce do PFC, não de uma nova lógica.
O mesmo conjunto pode produzir contagens diferentes.
Observe a diferença entre ocupar posições e formar apenas um grupo.
1º, 2º e 3º lugares: ordem importa.
A sequência Ana–Bia–Caio é diferente de Bia–Ana–Caio. Com 8 pessoas disputando 3 posições:
\[A_{8,3}=8\cdot7\cdot6=336\]
Grupo de 3 pessoas: ordem não importa.
{Ana, Bia, Caio} é o mesmo grupo independentemente da ordem em que os nomes foram escritos:
\[C_{8,3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\]
Por que dividimos por \(3!\) na combinação? Porque cada grupo foi contado uma vez para cada ordenação interna de seus três integrantes.
ELEMENTOS REPETIDOS
Repetições indistinguíveis reduzem a contagem.
Na palavra ARARA, as 5 letras poderiam gerar \(5!\) ordenações se fossem todas distintas. Mas os três A são indistinguíveis e os dois R também.
\[P=\frac{5!}{3!\,2!}=10\]
DIVIDIMOS PELAS TROCAS QUE NÃO CRIAM UM NOVO RESULTADO.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Estrutura geral
\[P=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}\]
Os números \(n_1,n_2,\ldots,n_k\) registram quantas vezes cada tipo de elemento se repete.
Quando repetir é permitido, pense em distribuição.
Quando a repetição é permitida e a ordem não importa, muitas escolhas podem ser lidas como uma distribuição de um total entre categorias. Essa é a ponte para combinação com repetição e para o método de pauzinhos e bolinhas.
Transforme escolhas em variáveis.
\[x_1+x_2+\cdots+x_k=n\]
Cada \(x_i\) registra quantas unidades foram destinadas a uma categoria.
Uma categoria pode receber zero.
\[x_i\ge 0\]
Há \(n\) bolinhas e \(k-1\) pauzinhos separando os \(k\) grupos.
Escolha as posições dos divisores.
\[\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}\]
Essa é a fórmula da combinação com repetição.
E se todas as variáveis precisarem ser positivas?
Se \(x_i\ge1\), reserve primeiro 1 unidade para cada variável. Em \(x_1+\cdots+x_k=n\), restam \(n-k\) unidades para distribuir; por isso, a contagem passa a ser \(\binom{n-1}{k-1}\), desde que \(n\ge k\).
EXEMPLO GUIADO01 02 03 04 05
A pergunta “quem vai?” é diferente de “quem fica em cada posição?”.
Uma equipe tem 10 estudantes. De quantas maneiras podemos escolher 4 deles para representar a turma?
INTERPRETAR
A pergunta pede um grupo de quatro pessoas.
Não há cargos nem posições diferentes.
ESTRUTURAR
Usamos apenas parte dos 10 estudantes.
Escolhemos 4 dentre 10.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
A ordem dos quatro escolhidos não altera a equipe.
Portanto, a estrutura é de combinação.
CALCULAR
\[C_{10,4}=\frac{10!}{4!6!}=210\]
Existem 210 equipes possíveis.
CONFERIR
Trocar a ordem dos nomes não cria outra equipe.
Isso confirma que não deveríamos usar arranjo.
ERROS QUE DERRUBAM QUESTÃO
Não escolha a fórmula pelo vocabulário do enunciado.
Palavras como “escolher”, “organizar” e “formar” não determinam a técnica. O que decide é a estrutura das escolhas.
Usar combinação quando existem cargos.
Presidente, vice e secretário ocupam posições diferentes. Trocar as pessoas de cargo cria outro resultado.
Usar arranjo para formar apenas um grupo.
Se a ordem interna não importa, o arranjo conta o mesmo grupo várias vezes.
Esquecer elementos repetidos.
Trocar entre si cópias indistinguíveis não produz uma nova ordenação.
Aplicar fórmula quando o PFC é mais transparente.
Em muitas questões, organizar as etapas e contar escolhas válidas é mais claro do que forçar uma fórmula combinatória.
Treine a decisão: ordem importa ou não?
PERMUTAÇÃO • ARRANJO • COMBINAÇÃOClassifique a estrutura antes de calcular.
Treinar no BancoUse o Banco para treinar problemas de ordenação e escolha. Em cada questão, justifique primeiro se a ordem altera ou não o resultado.
ROTA DE CONTAGEM
Fórmulas diferentes respondem a estruturas diferentes.
Se ainda houver dúvida, volte ao PFC e reconstrua as escolhas posição por posição.
Da leitura à estratégia
Em análise combinatória, a decisão mais importante acontece antes da fórmula. O raciocínio deve avançar em três etapas: primeiro identificar o que está sendo formado, depois decidir se a ordem muda o resultado e, só então, escolher a ferramenta de contagem.
- 1 · ENTENDER: reconhecer quantos elementos participam e quantas posições ou escolhas precisam ser feitas.
- 2 · INTERPRETAR: perguntar se trocar a ordem dos mesmos elementos produz ou não um novo resultado.
- 3 · DECIDIR: escolher entre permutação, arranjo, combinação ou o princípio fundamental da contagem antes de escrever qualquer fórmula.
Conferência: teste um caso pequeno e liste mentalmente algumas possibilidades. Se trocar a ordem cria uma nova possibilidade, a ordem importa; se o grupo continua sendo o mesmo, a ordem não importa.
Guarda isso
Não comece pela fórmula. Comece pela pergunta: estou organizando todos os elementos, escolhendo alguns com ordem ou escolhendo alguns sem ordem? Essa decisão praticamente determina o método.