Mariana vai oferecer um jantar em sua casa para reunir alguns amigos e colegas de trabalho. Ao organizar a mesa dos copos e bebidas, optou por colocar pedras de gelo em formato de esfera, dentro de uma jarra de formato cilíndrico. A jarra utilizada por Mariana tem raio da base de 5 cm e altura 20 cm. Já as pedras de gelo têm raio de 1 cm.

Considerando que ao longo do jantar as pedras de gelo podem derreter por completo e que talvez nenhum convidado retire nenhuma pedra, qual o número máximo de pedras de gelo que pode ser colocadas na jarra, para que fique com seu volume máximo ocupado, sem derramar? (Use π = 3)

(a) 1500 pedras de gelo.
(b) 3750 pedras de gelo.
(c) 375 pedras de gelo.
(d) 150 pedras de gelo.
(e) 400 pedras de gelo.
(f) I.R.

Resolução

Ideia: Se todas as pedras de gelo derretem e ninguém retira nenhuma, a jarra não pode receber um volume total (de água formada) maior do que o volume da própria jarra. Assim, o volume total das pedras deve ser, no máximo, o volume da jarra.

1) Volume da jarra (cilindro)

O volume de um cilindro é:

$$V_{\text{cil}}=\pi r^2 h$$

Na jarra: \(r=5\) cm e \(h=20\) cm, usando \(\pi=3\):

$$V_{\text{jarra}}=3\cdot 5^2\cdot 20=3\cdot 25\cdot 20=1500\ \text{cm}^3$$

2) Volume de uma pedra de gelo (esfera)

O volume de uma esfera é:

$$V_{\text{esf}}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Para cada pedra: \(r=1\) cm e \(\pi=3\):

$$V_{\text{pedra}}=\frac{4}{3}\cdot 3\cdot 1^3=4\ \text{cm}^3$$

Observação importante: o enunciado menciona “esfera” e (em outra linha) aparece “cilíndrico”, mas como só foi dado o raio da pedra (e não a altura), e as alternativas batem exatamente com esfera, consideramos a pedra como esférica.

3) Quantidade máxima de pedras

Se \(n\) é o número de pedras, o volume total é:

$$V_{\text{total}}=n\cdot V_{\text{pedra}}=n\cdot 4$$

Para não derramar quando tudo derreter:

$$n\cdot 4 \le 1500$$

$$n \le \frac{1500}{4}=375$$

Conclusão: o número máximo de pedras é 375.

Alternativa correta: (c) 375 pedras de gelo.