Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;
• 26 letras minúsculas do alfabeto;
• 26 letras maiúsculas do alfabeto;
• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere \(p_1\), \(p_2\) e \(p_3\) as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

A) tipo I, pois \(p_1 < p_2 < p_3\).
B) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
C) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
D) tipo III, pois \(p_3 > p_2 > p_1\).
E) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resolução (passo a passo):

A chance de acertar uma senha “no chute” (na 1ª tentativa) é:

\[ p = \frac{1}{\text{quantidade de senhas possíveis}} \]

Então, para ter a menor probabilidade de acerto, precisamos do tipo com a maior quantidade de senhas possíveis.

Quantidade de caracteres permitidos:

\[ 10\ (\text{dígitos}) + 26\ (\text{minúsculas}) + 26\ (\text{maiúsculas}) + 6\ (\text{especiais}) = 68 \]

Tipo I: 4 caracteres distintos, quaisquer, com ordem (senha tem posição).
Isso é uma permutação simples de 68 elementos tomados 4 a 4:

\[ N_1 = 68\cdot 67\cdot 66\cdot 65 = 19\,545\,240 \]

Tipo II: 3 letras distintas, depois 1 dígito, depois 1 especial (todos distintos).
Letras possíveis: 26 minúsculas + 26 maiúsculas = 52.

\[ N_2 = (52\cdot 51\cdot 50)\cdot 10 \cdot 6 \] \[ N_2 = 7\,956\,000 \]

Tipo III: 2 letras distintas, 2 dígitos distintos e 2 especiais distintos.

\[ N_3 = (52\cdot 51)\cdot (10\cdot 9)\cdot (6\cdot 5) \] \[ N_3 = 7\,160\,400 \]

Agora comparamos as quantidades:

\[ N_1 = 19\,545\,240 \;>\; N_2 = 7\,956\,000 \;>\; N_3 = 7\,160\,400 \]

Como \(p = \frac{1}{N}\), a ordem das probabilidades fica invertida:

\[ p_1 < p_2 < p_3 \]

Logo, o tipo com menor probabilidade de ser descoberto ao acaso é o tipo I.

Resposta: A) tipo I, pois \(p_1 < p_2 < p_3\).