Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.

O oitavo número pentagonal é

A) 59.
B) 83.
C) 86.
D) 89.
E) 92.

Resolução

Pela figura, os 6 primeiros números pentagonais mostrados são:

\[ P_1 = 1,\quad P_2 = 5,\quad P_3 = 12,\quad P_4 = 22,\quad P_5 = 35,\quad P_6 = 51. \]

Vamos analisar quanto cresce de um para o outro (as diferenças):

\[ \begin{aligned} P_2 – P_1 &= 5 – 1 = 4 \\ P_3 – P_2 &= 12 – 5 = 7 \\ P_4 – P_3 &= 22 – 12 = 10 \\ P_5 – P_4 &= 35 – 22 = 13 \\ P_6 – P_5 &= 51 – 35 = 16 \end{aligned} \]

Agora observe o padrão dessas diferenças:

\[ 4,\; 7,\; 10,\; 13,\; 16 \]

Elas aumentam sempre de 3 em 3. Então, as próximas diferenças serão:

\[ 19,\; 22 \]

Assim:

1) Para achar o sétimo número:

\[ P_7 = P_6 + 19 = 51 + 19 = 70 \]

2) Para achar o oitavo número:

\[ P_8 = P_7 + 22 = 70 + 22 = 92 \]

Resposta: E) 92.