A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.

No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes. Considere 3,14 como aproximação para \(\pi\).

Qual é a quantidade mínima, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?

(A) 50
(B) 60
(C) 80
(D) 140
(E) 150

Resolução

1) Volume de água que restou no reservatório

O reservatório é um cilindro. O volume de um cilindro é:

\[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Dados: \(r = 5\) m e \(h = 1{,}5\) m.

\[ V = 3 \cdot 5^2 \cdot 1{,}5 = 3 \cdot 25 \cdot 1{,}5 \]

Primeiro: \(25 \cdot 1{,}5 = 37{,}5\).

\[ V = 3 \cdot 37{,}5 = 112{,}5 \text{ m}^3 \]

Como \(1 \text{ m}^3 = 1000\) litros:

\[ 112{,}5 \text{ m}^3 = 112{,}5 \cdot 1000 = 112500 \text{ litros} \]

Então, restam \(112500\) litros no reservatório.

2) Consumo diário do vilarejo (sem economia)

São 75 moradores, cada um consome 200 L por dia:

\[ \text{Consumo diário} = 75 \cdot 200 = 15000 \text{ L/dia} \]

3) Consumo diário com economia

Se cada morador economizar \(x\) litros por dia, cada um passa a consumir \(200 – x\). Então o consumo diário total vira:

\[ 75 \cdot (200 – x) = 15000 – 75x \]

4) Condição para não faltar água em 10 dias

Em 10 dias, o consumo será:

\[ 10 \cdot (15000 – 75x) = 150000 – 750x \]

Para o reservatório não ficar sem água, esse consumo deve ser no máximo \(112500\) litros:

\[ 150000 – 750x \le 112500 \]

Passando \(150000\) para o outro lado:

\[ -750x \le 112500 – 150000 = -37500 \]

Dividindo por \(-750\) (e invertendo o sinal da desigualdade):

\[ x \ge \frac{37500}{750} \]

\[ \frac{37500}{750} = 50 \]

Logo, cada morador deve economizar no mínimo 50 litros por dia.

Resposta: (A) 50