Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$.
B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{3k^2\sqrt{3}}{2}$.
C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2}{16}$.
D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{36}$.
E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{4}$.
Resolução
A cerca tem comprimento total (perímetro) igual a $k$. Se o jardim for um polígono regular com $n$ lados, então o lado vale:
$$ s=\frac{k}{n} $$
Vamos calcular a área em cada caso.
1) Triângulo equilátero ($n=3$)
$$ s=\frac{k}{3} $$
A área do triângulo equilátero é:
$$ A_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 $$
Substituindo $s=\frac{k}{3}$:
$$ A_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{k}{3}\right)^2 =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{k^2}{9} =\frac{k^2\sqrt{3}}{36} $$
2) Quadrado ($n=4$)
$$ s=\frac{k}{4} \quad\Rightarrow\quad A_{\square}=s^2=\left(\frac{k}{4}\right)^2=\frac{k^2}{16} $$
3) Hexágono regular ($n=6$)
$$ s=\frac{k}{6} $$
Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado $s$. Cada triângulo tem área $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$, então:
$$ A_{hex}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^2=\frac{6\sqrt{3}}{4}s^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 $$
Substituindo $s=\frac{k}{6}$:
$$ A_{hex}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{k}{6}\right)^2 =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{k^2}{36} =\frac{3\sqrt{3}k^2}{72} =\frac{k^2\sqrt{3}}{24} $$
4) Comparação das áreas
$$ A_{\triangle}=\frac{k^2\sqrt{3}}{36}, \qquad A_{\square}=\frac{k^2}{16}, \qquad A_{hex}=\frac{k^2\sqrt{3}}{24} $$
Para comparar, note que:
- $\dfrac{\sqrt{3}}{24} > \dfrac{\sqrt{3}}{36}$, então $A_{hex} > A_{\triangle}$;
- e numericamente $\dfrac{\sqrt{3}}{24}\approx 0{,}072$ e $\dfrac{1}{16}=0{,}0625$, então $A_{hex} > A_{\square}$.
Logo, a maior área ocorre com o hexágono regular, e sua área é:
$$ \boxed{A_{hex}=\frac{k^2\sqrt{3}}{24}} $$
Alternativa correta: A.