Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório.

O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo 15/60. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade do tempo, em segundo, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a 4/100, considerando os eventos independentes.

Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de

(A) 1,35.
(B) 3,00.
(C) 9,00.
(D) 12,60.
(E) 13,80.

Resolução

Atualmente, cada semáforo permanece vermelho por 15 segundos em um ciclo total de 60 segundos.

Como o instante de chegada do ônibus é aleatório, a probabilidade de encontrar um semáforo vermelho é:

$$P(\text{vermelho})=\frac{15}{60}$$

Agora, seja x (em segundos) a redução aplicada no tempo em que cada semáforo permanece vermelho.

Assim, o novo tempo em vermelho será:

$$15-x$$

Logo, a nova probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho será:

$$P(\text{vermelho})=\frac{15-x}{60}$$

Como os eventos são independentes, a probabilidade de o ônibus encontrar os dois semáforos vermelhos é o produto das probabilidades:

$$\left(\frac{15-x}{60}\right)^2$$

O enunciado informa que essa probabilidade deve ser igual a:

$$\frac{4}{100}$$

Montando a equação:

$$\left(\frac{15-x}{60}\right)^2=\frac{4}{100}$$

Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

$$\frac{15-x}{60}=\sqrt{\frac{4}{100}}$$

$$\frac{15-x}{60}=\frac{2}{10}$$

$$\frac{15-x}{60}=\frac{1}{5}$$

Multiplicando ambos os lados por 60:

$$15-x=12$$

Resolvendo para x:

$$x=15-12$$

$$x=3$$

Resposta:

3,00 segundos (Alternativa B)