A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto \(H\) representa o local onde está construído o hospital; os pontos \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre:

A) 2 e 3.
B) 4 e 5.
C) 5 e 6.
D) 7 e 8.
E) 8 e 9.

Resolução

Os pontos \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\) representam os três postos de saúde e estão a mesma distância entre si, igual a 10 km. Logo, o triângulo formado por esses três pontos é um triângulo equilátero de lado:

\[ s = 10 \]

O enunciado informa que o hospital \(H\) está à mesma distância dos três postos, ou seja:

\[ HP_1 = HP_2 = HP_3 \]

Assim, o ponto \(H\) é o circuncentro do triângulo equilátero \(P_1P_2P_3\), isto é, o ponto equidistante dos três vértices do triângulo.

A distância do hospital até cada posto corresponde ao raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero.

Sabemos que a altura \(h\) de um triângulo equilátero de lado \(s\) é dada por:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s \]

O circuncentro divide a altura na razão \(2:1\), partindo do vértice até a base. Assim, o raio da circunferência circunscrita é:

\[ R = \frac{2}{3}h \]

Substituindo o valor da altura:

\[ R = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} s \]

Simplificando:

\[ R = \frac{\sqrt{3}}{3} s \]

Substituindo \(s = 10\):

\[ R = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

Racionalizando o denominador:

\[ R = \frac{10\sqrt{3}}{3} \]

Calculando o valor aproximado:

\[ R \approx 5{,}77 \text{ km} \]

Portanto, a distância entre o hospital e cada posto de saúde está entre:

5 e 6 km.

Alternativa correta: C.