Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento. Considere (3) como valor aproximado para $\pi$.

A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é:
(A) 54 (B) 60 (C) 66 (D) 68 (E) 72

Resolução

O comprimento total da correia é a soma de:

\[ \text{2 trechos retos} + \text{arco na polia menor} + \text{arco na polia maior} \]

1) Trechos retos

Existem dois segmentos tangentes de 15 cm cada:

\[ L_{retos} = 15 + 15 = 30 \text{ cm} \]

2) Arco na polia menor

O ângulo de contato na polia menor é 150°.

Fórmula do comprimento de arco:

\[ s = \frac{\theta}{360} \cdot 2 \pi r \]

Substituindo \( r = 4 \) e \( \theta = 150 \):

\[ s_r = \frac{150}{360} \cdot 2 \pi \cdot 4 \]

\[ s_r = \frac{5}{12} \cdot 8\pi \]

\[ s_r = \frac{10}{3}\pi \]

Considerando \( \pi \approx 3 \):

\[ s_r = 10 \text{ cm} \]

3) Arco na polia maior

Os ângulos de contato das duas polias somam 360°:

\[ \theta_R = 360 – 150 = 210 \]

Aplicando na fórmula do arco com \( R = 8 \):

\[ s_R = \frac{210}{360} \cdot 2 \pi \cdot 8 \]

\[ s_R = \frac{7}{12} \cdot 16\pi \]

\[ s_R = \frac{28}{3}\pi \]

Considerando \( \pi \approx 3 \):

\[ s_R = 28 \text{ cm} \]

4) Comprimento total da correia

\[ L = 30 + 10 + 28 \]

\[ L = 68 \text{ cm} \]

Resposta: 68 cm