Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo \(\alpha\), em grau, e do raio \(R\), em metro.

Ao aumentar o ângulo \(\alpha\) ou o raio \(R\) aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

• tipo I: \(\alpha = 15^\circ\) e \(R = 20\) m;
• tipo II: \(\alpha = 30^\circ\) e \(R = 22\) m;
• tipo III: \(\alpha = 40^\circ\) e \(R = 12\) m;
• tipo IV: \(\alpha = 60^\circ\) e \(R = 16\) m;
• tipo V: \(\alpha = 90^\circ\) e \(R = 10\) m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida \(70\ \text{m}^2\), com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para \(\pi\).

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.

Resolução

A área azul é um setor circular. A área de um setor de raio \(R\) e ângulo \(\alpha\) (em graus) é:

\[ A=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi R^2 \]

Como o enunciado pede para usar \(\pi \approx 3\), faremos:

\[ A=\frac{\alpha}{360}\cdot 3R^2 \]

Como o preço aumenta quando a área aumenta, para pagar o menor preço devemos escolher, entre os sensores que cobrem pelo menos \(70\ \text{m}^2\), aquele com a menor área.

1) Calculando a área de cada tipo

Tipo I: \(\alpha=15^\circ\), \(R=20\)

\[ A_1=\frac{15}{360}\cdot 3\cdot 20^2 =\frac{15}{360}\cdot 3\cdot 400 =\frac{1}{24}\cdot 1200 =50 \]

Tipo II: \(\alpha=30^\circ\), \(R=22\)

\[ A_2=\frac{30}{360}\cdot 3\cdot 22^2 =\frac{1}{12}\cdot 3\cdot 484 =\frac{1}{12}\cdot 1452 =121 \]

Tipo III: \(\alpha=40^\circ\), \(R=12\)

\[ A_3=\frac{40}{360}\cdot 3\cdot 12^2 =\frac{1}{9}\cdot 3\cdot 144 =\frac{1}{9}\cdot 432 =48 \]

Tipo IV: \(\alpha=60^\circ\), \(R=16\)

\[ A_4=\frac{60}{360}\cdot 3\cdot 16^2 =\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 256 =\frac{1}{6}\cdot 768 =128 \]

Tipo V: \(\alpha=90^\circ\), \(R=10\)

\[ A_5=\frac{90}{360}\cdot 3\cdot 10^2 =\frac{1}{4}\cdot 3\cdot 100 =\frac{1}{4}\cdot 300 =75 \]

2) Selecionando os que cobrem pelo menos \(70\ \text{m}^2\)

• Tipo I: \(50\) (não atinge 70)
• Tipo II: \(121\) (atinge)
• Tipo III: \(48\) (não atinge 70)
• Tipo IV: \(128\) (atinge)
• Tipo V: \(75\) (atinge)

Entre os que atingem a área mínima (\(II\), \(IV\) e \(V\)), o menor valor de área é:

\[ 75\ \text{m}^2 \]

Portanto, esse é o sensor de menor preço que atende a exigência.

Resposta: E) V.