Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo 3 cm, e altura medindo 15 cm. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a 80% da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente. Use 3 como valor aproximado para \(\pi\).

A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser

A) 6
B) 18
C) \(6\sqrt{6}\)
D) \(6\sqrt[3]{6}\)
E) \(3\sqrt[3]{12}\)

Resolução

1) Volume da embalagem cilíndrica

O volume de um cilindro é:

\[ V_{\text{cil}}=\pi r^2 h \]

Dados: \(r=3\) cm, \(h=15\) cm e \(\pi \approx 3\).

\[ V_{\text{cil}} = 3\cdot 3^2 \cdot 15 = 3\cdot 9 \cdot 15 = 405\ \text{cm}^3 \]

2) Volume da nova embalagem (cubo)

A nova embalagem terá capacidade igual a \(80%\) da capacidade do cilindro:

\[ V_{\text{cubo}} = 0{,}8\cdot 405 = 324\ \text{cm}^3 \]

3) Encontrando a aresta do cubo

Se a aresta do cubo é \(a\), então:

\[ a^3 = V_{\text{cubo}} = 324 \]

Fatorando \(324\):

\[ 324 = 27\cdot 12 \]

Então:

\[ a = \sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{27\cdot 12} = \sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{12} = 3\sqrt[3]{12} \]

Resposta: E) \(3\sqrt[3]{12}\).