Em Matemática, o conceito de conjunto foi tratado no decorrer da história por diversos estudiosos, com destaque para o russo Georg Cantor (1845-1918) que, em 1874, começou a desenvolver seu trabalho inovador em Teoria dos Conjuntos. As ideias de conjunto influenciaram e continuam influenciando o estudo de diversos campos da Matemática. Cada conjunto possui características gerais e propriedades específicas.

Referência: SOUZA, Joamir. Matemática – Multiversos – Conjuntos e Função Afim. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020.

Considere as afirmações sobre o conjunto dos Números Reais \(\mathbb{R}\).

I – Com base nas propriedades de potenciação, $ (x+y)^2=x^2+y^2. $

II – O resultado da expressão $ \left[3^2+(44-\sqrt{16})\right]-(4\cdot 5-\sqrt{9}) $ é igual a $32$.

III – O resultado da expressão $ (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2}) $ é igual a $2$.

IV – Utilizando as propriedades de radiciação, concluímos que $$ 8\sqrt{6}+9\sqrt{24}=17\sqrt{30}. $$

V – O resultado da expressão $ (1.3)^2+\left(\frac{3}{4}-0.25\right)^3 \div 25 $ é igual a $ -\frac{5}{6}. $

Estão corretas:

(a) I, III e V, apenas.
(b) II e III, apenas.
(c) I, IV e V, apenas.
(d) III e IV, apenas.
(e) I, II, III e IV, apenas.
(f) I.R.

Resolução

I)

Expandindo o quadrado da soma:

$$
(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x^2+2xy+y^2
$$

Assim, em geral:

$$
(x+y)^2 \ne x^2+y^2
$$

Conclusão: a afirmativa I é FALSA.

II)

Vamos calcular a expressão:

$$
\left[3^2+(44-\sqrt{16})\right]-(4\cdot 5-\sqrt{9})
$$

1) Potência e raízes:

$$
3^2=9,\quad \sqrt{16}=4,\quad \sqrt{9}=3
$$

2) Parêntese dentro dos colchetes:

$$
44-\sqrt{16}=44-4=40
$$

3) Soma dentro dos colchetes:

$$
3^2+(44-\sqrt{16})=9+40=49
$$

4) Segundo parêntese (atenção: é multiplicação):

$$
4\cdot 5-\sqrt{9}=20-3=17
$$

5) Subtração final:

$$
49-17=32
$$

Conclusão: a afirmativa II é VERDADEIRA.

III)

Somando as duas expressões:

$$
(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2
$$

Conclusão: a afirmativa III é VERDADEIRA.

IV)

Simplifique primeiro o radical $$\sqrt{24}$$:

$$
\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}
$$

Substituindo na expressão:

$$
8\sqrt{6}+9\sqrt{24}=8\sqrt{6}+9\cdot 2\sqrt{6}=8\sqrt{6}+18\sqrt{6}=26\sqrt{6}
$$

Logo:

$$
8\sqrt{6}+9\sqrt{24}=26\sqrt{6}
$$

Isso não é igual a $$17\sqrt{30}$$, pois os radicais $$\sqrt{6}$$ e $$\sqrt{30}$$ não são semelhantes.

Conclusão: a afirmativa IV é FALSA.

V)

Calcule a expressão:

$$
(1.3)^2+\left(\frac{3}{4}-0.25\right)^3 \div 25
$$

1) Primeiro termo:

$$
(1.3)^2=1.69
$$

2) Parêntese:

$$
\frac{3}{4}=0.75
\Rightarrow
0.75-0.25=0.50
$$

3) Cubo:

$$
(0.50)^3=0.125
$$

4) Divisão por 25:

$$
0.125 \div 25 = 0.005
$$

5) Soma final:

$$
1.69+0.005=1.695
$$

Como:

$$
1.695 \ne -\frac{5}{6}
$$

Conclusão: a afirmativa V é FALSA.

Resposta

As afirmativas verdadeiras são II e III.

Alternativa correta: (b) II e III, apenas.