Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.

O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:

• o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
• o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
• o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
• o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.

Ao final da rodada (n), qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?

A) (103 + 4n)
B) (103 + 3n)
C) (100 + 4n)
D) (100 + 3n)
E) (99 + 4n)

Resolução Detalhada

Vamos analisar apenas o jogador que ocupa a posição 1.

1) Situação inicial

Antes de começar o jogo (rodada zero), cada jogador tem 100 moedas. Logo, o jogador da posição 1 inicia com:

$$
M_0 = 100
$$

onde $M_0$ representa o número de moedas na rodada 0 (antes de qualquer transferência).

2) O que acontece com o jogador da posição 1 em uma rodada

Em toda rodada, o jogador da posição 1 participa de duas transferências:

(a) Ele transfere 1 moeda para a posição 2

Isso diminui seu total em 1 moeda:

$$
-1
$$

(b) Ele recebe 4 moedas da posição 4

Isso aumenta seu total em 4 moedas:

$$
+4
$$

3) Variação líquida por rodada

Somando o que ele recebe e subtraindo o que ele paga, a variação líquida em uma rodada é:

$$
\Delta = (+4) + (-1) = 4 – 1 = 3
$$

Ou seja, a cada rodada o jogador da posição 1 ganha 3 moedas.

4) Expressão após (n) rodadas

Se em cada rodada ele ganha 3 moedas, então após (n) rodadas ele ganha (3n) moedas ao todo.

Como ele começou com 100, temos:

$$
M_n = 100 + 3n
$$

Resposta final

A expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1 ao final da rodada (n) é:

$$
\boxed{100 + 3n}
$$

Alternativa correta: D) (100 + 3n)