Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, o João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.

O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

A) Artur, com probabilidade de $\dfrac{2}{3}$
B) João, com probabilidade de $\dfrac{4}{9}$
C) Artur, com probabilidade de $\dfrac{91}{216}$
D) João, com probabilidade de $\dfrac{91}{216}$
E) Artur, com probabilidade de $\dfrac{125}{216}$

Resolução detalhada

Questão 178 – Resolução passo a passo

1. Entendendo o jogo

Artur lança dois dados e escolhe o maior número que aparecer. João lança um dado.

Artur só vence se o maior número dos seus dados for maior que o número do dado de João. Se der empate, João vence.

2. Total de possibilidades

Cada dado tem 6 faces.

Artur lança dois dados e João lança um, então o total de resultados possíveis é:

$$
6 \times 6 \times 6 = 216
$$

Ou seja, existem 216 resultados possíveis no jogo.

3. Casos em que Artur NÃO vence

Artur não vence quando o número do João é maior ou igual ao maior número dos dados de Artur.

Vamos analisar caso a caso, de acordo com o número que João tira.

João tira 1

Artur perde apenas se os dois dados forem 1.

$$
1 \text{ caso}
$$

João tira 2

Artur perde se o maior dos seus dados for 1 ou 2.

$$
2 \times 2 = 4 \text{ casos}
$$

João tira 3

Artur perde se o maior dos seus dados for 1, 2 ou 3.

$$
3 \times 3 = 9 \text{ casos}
$$

João tira 4

$$
4 \times 4 = 16 \text{ casos}
$$

João tira 5

$$
5 \times 5 = 25 \text{ casos}
$$

João tira 6

$$
6 \times 6 = 36 \text{ casos}
$$

4. Total de casos em que Artur perde

Somando todos os casos:

$$
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
$$

Portanto, em 91 situações, Artur não vence.

5. Casos em que Artur vence

Se existem 216 resultados possíveis e Artur perde em 91 deles, então:

$$
216 – 91 = 125
$$

Logo, Artur vence em 125 casos.

6. Probabilidade de vitória de Artur

$$
P(\text{Artur vence}) = \frac{125}{216}
$$

7. Conclusão

A probabilidade de Artur vencer é:

$$
\boxed{\frac{125}{216}}
$$

Assim, o jogador com maior chance de vitória é Artur.

Resposta correta: alternativa (E).