Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$, em hora, e de um parâmetro positivo $K$, que define o modelo da máquina, segundo a expressão

$$P = 4\cdot \log\left[-K\cdot (t+1)\cdot (t-19)\right].$$

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$K, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para $K$K é

A) $10^{0,5}$
B) $10^8$
C) $\dfrac{10^{2,5}}{84}$
D) $\dfrac{10^{2,5}}{99}$
E) $25\times 10^{-2}$

Resolução detalhada

1) Entender a condição de segurança

O fabricante exige:

$$P \le 10 \quad \text{durante o funcionamento.}$$

A máquina vai funcionar por 10 horas seguidas, então consideramos:

$$0 \le t \le 10.$$

A fórmula é:$$P = 4\cdot \log\left[-K\cdot (t+1)\cdot (t-19)\right].$$

Como o logaritmo é uma função crescente, para garantir $P\le 10$P≤10 no intervalo todo, basta garantir isso no maior valor do argumento do log.

2) Simplificar o argumento do log

Observe:

$$-K\cdot (t+1)\cdot (t-19) =K\cdot (t+1)\cdot (19-t)$$

(porque $-(t-19)=19-t$).

Defina:$$A(t)=K\,(t+1)(19-t)$$

Então:$$P=4\log(A(t)).$$

3) Encontrar o valor máximo de $(t+1)(19-t)$ em $0\le t\le 10$

Vamos estudar:$$f(t)=(t+1)(19-t).$$

Multiplicando:$$f(t)= -t^2 + 18t + 19.$$

É uma parábola com concavidade para baixo ($a=-1$), então tem máximo no vértice:$$t_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-18}{2(-1)}=9.$$

Como $9$9 está dentro de $[0,10]$[0,10], o máximo ocorre em $t=9$t=9.

Agora calcule:

$$f(9)=(9+1)(19-9)=10\cdot 10=100.$$

Logo, o maior valor de $A(t)$A(t) no intervalo é:

$$A_{\max}=K\cdot 100=100K.$$

4) Impor a condição $P\le 10$

No pior caso (no máximo), precisamos:

$$4\log(100K)\le 10.$$

Dividindo por 4:

$$\log(100K)\le 2{,}5.$$

Passando do log para forma exponencial (base 10):

$$100K \le 10^{2{,}5}.$$

Então:$$K \le \frac{10^{2{,}5}}{100}.$$

Como $100=10^2$$$K \le \frac{10^{2{,}5}}{10^2}=10^{0{,}5}.$$

Conclusão

O maior valor de $K$K que mantém a pressão sempre $\le 10$≤10 durante as 10 horas é:$$\boxed{10^{0{,}5}}$$

Gabarito

✅ Alternativa A)