O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1ª — partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando o ponto Q;
2ª — partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.

No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1ª — partir do ponto P na direção 340 e navegar por 4 horas, alcançando o ponto S;
2ª — partir do ponto S na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto T.

A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

O dono da embarcação só percebe o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.

Considere 0,64 como aproximação para cos⁡50°.

A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

A) 135 e 7 horas e 15 minutos.
B) 45 e 7 horas e 15 minutos.
C) 135 e 12 horas.
D) 135 e 6 horas.
E) 45 e 6 horas.

Resolução detalhada

1) Informações importantes do problema

• A velocidade do barco é constante, então: tempo de navegação é proporcional à distância percorrida.
• Logo, podemos usar o tempo como medida de distância:
  • 4 horas → “4 unidades de distância”
  • 2 horas → “2 unidades de distância”

Isso facilita MUITO a conta.

2) Entendendo as direções na bússola

Na bússola:

• 0° → Norte
• 90° → Leste
• 180° → Sul
• 270° → Oeste

O problema informa que:

• O erro foi trocar 110° por 340°
• A diferença entre essas direções envolve um ângulo de 50°
• O exercício fornece: $$\cos 50^\circ \approx 0{,}64$$

Esse valor será usado para calcular projeções horizontais e verticais.

3) Comparando as duas rotas

Vamos comparar onde o barco deveria estar (R) e onde ele realmente chegou (T).

🔸 Deslocamento planejado (P → R)

• 1º trecho: 4 h na direção 110°
• 2º trecho: 2 h para o Leste (90°)

🔸 Deslocamento executado (P → T)

• 1º trecho: 4 h na direção 340°
• 2º trecho: 2 h para o Leste (90°)

O segundo trecho é igual nas duas rotas, então a diferença entre R e T vem apenas do primeiro deslocamento.

4) Calculando a diferença entre os dois primeiros deslocamentos

Os dois deslocamentos iniciais têm:

• mesmo comprimento: 4 unidades
• direções simétricas, formando um ângulo de 100° entre si
  • Isso equivale a dois ângulos de 50° em relação ao eixo vertical

👉 O deslocamento “errado” cria um afastamento para o Norte e para o Oeste, enquanto o correto levaria para o Sul e para o Leste.

5) Usando o cosseno para achar as diferenças

A diferença horizontal e vertical será:

$$4 \cdot \cos 50^\circ$$

Como:

$$\cos 50^\circ \approx 0{,}64$$

Temos:

$$4 \cdot 0{,}64 = 2{,}56$$

👉 Como são dois deslocamentos opostos, a diferença total em cada direção será:

$$2 \cdot 2{,}56 = 5{,}12$$

Ou seja, do ponto T até R, o barco precisa navegar:

• 5,12 unidades para o Leste
• 5,12 unidades para o Sul

6) Descobrindo a direção correta

Como as distâncias para Leste e Sul são iguais, o caminho forma um ângulo de 45°.

Na bússola:

• Leste = 90°
• Sudeste = 135°

✅ Direção correta: 135°

7) Calculando o tempo de navegação

Usamos o Teorema de Pitágoras:

$$\text{distância} = \sqrt{5{,}12^2 + 5{,}12^2}$$$$= 5{,}12\sqrt{2} \approx 5{,}12 \cdot 1{,}41 \approx 7{,}2$$

Como a velocidade é 1 unidade por hora:

$$\text{tempo} \approx 7{,}2 \text{ horas}$$

Convertendo:

$$0{,}2 \times 60 \approx 12 \text{ minutos}$$

Aproximando conforme as alternativas:

✅ 7 horas e 15 minutos

✅ Conclusão final

• Direção: 135°
• Tempo: aproximadamente 7 horas e 15 minutos

Gabarito

✅ Alternativa A) 135 e 7 horas e 15 minutos.