A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.

As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.

Quantos vértices tem esse poliedro?

A) 21
B) 25
C) 55
D) 80
E) 110

Resolução detalhada

1) O que significa “cúpula pentagonal giralongada”?

O nome já descreve como o sólido é construído:

• Cúpula pentagonal: é uma cúpula cuja “parte de cima” envolve um pentágono e cuja base “de baixo” é um decágono (10 lados).
• Giralongada: significa que foi inserido um antiprisma entre a base do sólido e a outra parte, com um “giro” (característica do antiprisma).

➡️ Como a cúpula pentagonal tem base decagonal, o sólido inserido para “giralongar” é um:$$\textbf{antiprisma decagonal}$$

Ou seja, o poliedro final é obtido pela justaposição de:

• uma cúpula pentagonal
• um antiprisma decagonal colados pela face comum decagonal (essa face fica interna e não aparece).

2) Contando os vértices de cada peça

✅ (a) Cúpula pentagonal

Uma cúpula $n$-gonal tem:

$$V = 3n$$

Para $n=5$(pentagonal):

$$V_{\text{cúpula}} = 3\cdot 5 = 15$$

Logo, a cúpula pentagonal tem 15 vértices.

✅ (b) Antiprisma decagonal

Um antiprisma de base $n$n-gonal tem:

$$V = 2n$$

Aqui $n=10$n=10 (decágono):

$$V_{\text{antiprisma}} = 2\cdot 10 = 20$$

Logo, o antiprisma decagonal tem 20 vértices.

3) Ajuste pela face colada (vértices em comum)

As duas peças são unidas pela face decagonal.
Uma face decagonal possui 10 vértices, e esses vértices são os mesmos nas duas peças depois da colagem.

Então, ao somar os vértices, contamos esses 10 duas vezes — precisamos subtrair uma vez:

$$V_{\text{total}} = V_{\text{cúpula}} + V_{\text{antiprisma}} – 10$$

Substituindo:$$V_{\text{total}} = 15 + 20 – 10 = 25$$

✅ Resposta (Gabarito)

O poliedro tem 25 vértices.

Alternativa B) 25. ✅