Δx = 3.
\[4-1=3\]
PONTO E DISTÂNCIANo plano cartesiano,
No plano cartesiano,
posição vira medida.
Coordenadas dizem onde um ponto está. Diferenças de coordenadas dizem quanto precisamos andar na horizontal e na vertical para chegar de um ponto a outro.
IDEIA CENTRAL
Distância entre pontos é Pitágoras no plano.
Para A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂), as diferenças de coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo.
\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
De (1,2) até (4,6).
Δy = 4.
\[6-2=4\]
Triângulo 3–4–5.
\[d=\sqrt{3^2+4^2}=5\]
A mesma ideia aparece com níveis diferentes de leitura.
O objetivo é reconhecer quando a fórmula completa é necessária e quando a geometria permite um caminho mais curto.
Distância entre pontos com coordenadas negativas.
Para A=(-2,1) e B=(4,-7):
\[d=\sqrt{(4+2)^2+(-7-1)^2}\]
\[d=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10\]
O sinal das coordenadas muda as diferenças, mas os quadrados tornam a distância positiva.
Ponto equidistante de dois pontos.
Se P=(x,0) está à mesma distância de A=(1,2) e B=(5,4), podemos comparar os quadrados das distâncias:
\[(x-1)^2+4=(x-5)^2+16\]
\[x=5\]
Igualar distâncias é uma forma algébrica de procurar pontos da mediatriz.
PONTO MÉDIO
O ponto médio faz a média das coordenadas.
\[M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]
Se A=(2,1) e B=(8,5), então:
\[M=(5,3)\]
APLICAÇÃO DE PONTO MÉDIO
O ponto médio também pode revelar um ponto desconhecido.
Se M=(4,3) é o ponto médio de A=(1,5) e B=(x,y), então:
\[\frac{1+x}{2}=4\Rightarrow x=7\]
\[\frac{5+y}{2}=3\Rightarrow y=1\]
Logo, B=(7,1).
Descobrir uma coordenada a partir da distância.
O ponto P=(x,2) está a distância 5 de Q=(1,6).
INTERPRETAR. A distância é conhecida; x é a incógnita.
\[5^2=(x-1)^2+(2-6)^2\]
\[25=(x-1)^2+16\Rightarrow(x-1)^2=9\]
\[x=4\quad\text{ou}\quad x=-2\]
CONFERIR. Existem dois pontos horizontalmente simétricos em relação a x=1 que ficam à mesma distância de Q.
SITUAÇÃO ESTRATÉGICA
Distância ao eixo pode eliminar conta.
Para um ponto P=(a,b), a distância até o eixo x é |b| e até o eixo y é |a|.
\[d(P,\,eixo\ x)=|b|\qquad d(P,\,eixo\ y)=|a|\]