Multiplique uma por \(k\); a outra também multiplica por \(k\).
3 cadernos custam 24 reais. Mantendo o mesmo preço unitário, 6 cadernos custam 48 reais.
\[\frac{24}{3}=\frac{48}{6}=8\]
PROPORCIONALIDADE • ESTRATÉGIANão escolha a regra de três
Não escolha a regra de três
pelo desenho da tabela.
Primeiro descubra como as grandezas se relacionam. Só depois escolha taxa unitária, fator multiplicativo ou proporção.
PROPORÇÃO
Proporção é igualdade entre duas razões.
Quando duas situações mantêm a mesma relação:
\[\frac ab=\frac cd\qquad b\neq0,\ d\neq0\]
O produto cruzado \(ad=bc\) é consequência dessa igualdade, não a definição do conceito.
Há duas estruturas diferentes — e elas pedem leituras diferentes.
Uma aumenta enquanto a outra diminui mantendo o produto.
4 pessoas fazem uma tarefa em 6 h; nas mesmas condições, 8 pessoas fazem em 3 h.
\[4\cdot6=8\cdot3\]
Com três ou mais grandezas, analise cada relação separadamente.
Escolha a grandeza desconhecida como referência e verifique quais grandezas variam diretamente ou inversamente com ela.
Exemplo: produção de peças
6 máquinas produzem 900 peças em 5 horas. Mantendo o mesmo ritmo, quantas peças 10 máquinas produzem em 8 horas?
Mais máquinas produzem mais peças; mais tempo também produz mais peças. As duas relações são diretas.
\[x=900\cdot\frac{10}{6}\cdot\frac{8}{5}=2400\]
Resposta: 2400 peças.
Direta ou inversa: primeiro descubra os pesos.
Na divisão diretamente proporcional, as parcelas seguem a razão dada. Na inversamente proporcional, elas seguem os inversos dos números informados.
Maior peso → maior parcela.
Reparta 900 na razão 2:3:4.
\[2+3+4=9\text{ partes}\]
\[900\div9=100\]
\[200,\quad300,\quad400\]
Conferência: 200 + 300 + 400 = 900.
Maior número de referência → menor parcela.
Reparta 600 inversamente a 2, 3 e 6.
\[\frac12:\frac13:\frac16=3:2:1\]
\[3+2+1=6\text{ partes}\]
\[300,\quad200,\quad100\]
Conferência: 300 + 200 + 100 = 600.
LEITURA: “inversamente proporcional a 2, 3 e 6” não significa inverter a ordem das parcelas; significa usar os pesos \(\frac12,\frac13,\frac16\) e só depois simplificá-los para uma razão equivalente.
EXEMPLO GUIADO01 02 03 04 05
Leia a relação antes de montar a conta.
Uma receita para 6 pessoas usa 450 g de farinha. Mantendo a proporção, quantos gramas são necessários para 10 pessoas?
INTERPRETAR
Mais pessoas exigem mais farinha.
As grandezas variam no mesmo sentido.
ESTRUTURAR
Encontre a taxa por pessoa.
\[\frac{450}{6}=75\text{ g/pessoa}\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Taxa unitária é mais transparente aqui.
CALCULAR
\[10\cdot75=750\text{ g}\]
CONFERIR
Mais pessoas → mais farinha.
750 g maior que 450 g confirma o sentido esperado.
ERROS FREQUENTES
Regra de três não corrige uma relação mal interpretada.
Tratar toda tabela como direta.
Antes de cruzar números, teste a relação.
Inverter a inversa sem entender por quê.
O ponto é manter o produto constante, não decorar setas.
Usar proporção quando uma taxa unitária resolve melhor.
Escolha a estratégia mais transparente.
CONTINUIDADE