A trigonometria é uma ferramenta matemática essencial no contexto atual, sendo indispensável em áreas como Engenharia civil, Arquitetura, Tecnologia e até mesmo na programação de jogos de vídeo. O domínio das relações trigonométricas permite que profissionais resolvam problemas práticos, calculem medidas com precisão e desenvolvam soluções inovadoras. Um dos fenômenos periódicos modelados pelos seres humanos com o auxílio da função trigonométrica é o das marés, conhecido como maré alta ou baixa, que é influenciado pela força gravitacional do Sol e da Lua sobre o planeta Terra. Esse fenômeno da natureza acontece quatro vezes ao dia, com duas marés altas e duas marés baixas, sendo, portanto, de natureza periódica. Considere um modelo matemático, desenvolvido para os fenômenos das marés, dado pela função $$ f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}, \quad f(t)=2\sin(t)+1 $$ onde \( t \) é o tempo em horas e \( f(t) \) é a altura da maré em metros.

Referências:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/746018/1/Livro%20Maicon%20Michael.pdf . Acesso em: 01/07/2025.
https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/20324/1/LD_EMAT_I_2017_18.pdf. Acesso em: 02/06/2025.

Determine qual dos gráficos a seguir descreve o movimento das marés no modelo sugerido, ou seja, a função \(f(t)\).

RESOLUÇÃO

1) Identificando o tipo de função

A função dada é

$$ f(t)=2\sin(t)+1 $$

Ela possui a forma geral \(a\sin(t)+b\). Portanto, seu gráfico é uma senoide.

• Amplitude: \( |a|=2 \)
• Eixo médio (linha central): \( y=b=1 \)
• Período: \( 2\pi \)

2) Valores máximo e mínimo

Sabemos que:

$$ -1 \le \sin(t) \le 1 $$

Multiplicando por 2:

$$ -2 \le 2\sin(t) \le 2 $$

Somando 1:

$$ -1 \le 2\sin(t)+1 \le 3 $$

• Valor mínimo: \(-1\)
• Valor máximo: \(3\)

Logo, o gráfico oscila entre \(-1\) e \(3\), com linha média em \(y=1\).

3) Comportamento inicial do gráfico

Calculando o valor inicial:

$$ f(0)=2\sin(0)+1=1 $$

O gráfico começa no ponto \((0,1)\).

Agora observamos o comportamento do seno:

• \(\sin(0)=0\)
• \(\sin(t)\) aumenta quando \(t\) cresce a partir de 0

Logo, a função começa subindo a partir do ponto \((0,1)\).

4) Pontos importantes

Máximo:

$$ \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 $$

$$ f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot1+1=3 $$

Retorna ao eixo médio:

$$ f(\pi)=2\sin(\pi)+1=1 $$

Mínimo:

$$ \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1 $$

$$ f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2(-1)+1=-1 $$

Completa o ciclo:

$$ f(2\pi)=1 $$

Resumo do gráfico esperado

• Passa por \((0,1)\) subindo
• Máximo \(=3\)
• Mínimo \(=-1\)
• Linha média \(y=1\)
• Período \(2\pi\)

5) Comparando com as alternativas

O gráfico correto deve:

• Começar em \((0,1)\)
• Subir inicialmente
• Oscilar entre \(-1\) e \(3\)
• Ter eixo médio em \(y=1\)
• Repetir a cada \(2\pi\)

Entre as alternativas apresentadas, somente o gráfico (a) possui essas características.

$$ \boxed{\text{Alternativa correta: (a)}} $$